Jeu mathématique

Lu dans The Last Theorem, roman de A. C. Clarke (posthume) et F. Pohl

Considérons une pièce de monnaie, je la pose devant moi, elle montre son revers pile ou son revers face. Soit deux configurations possibles.
Maintenant je prends deux pièces de monnaie, que j’aligne devant moi. Les configurations possibles sont alors :
– Pile Face
– Pile Pile
– Face Pile
– Face Face
Soit 4 configurations.
De même, si je prends 3 pièces de monnaie que j’aligne devant moi, il y a 8 configurations possibles d’alternance pile/face.

Voici le jeu : soit un certain nombre de pièces de monnaie alignées. Supposons qu’ un joueur malveillant mette un cache sur certaines de ces pièces, si bien qu’on ne peut pas savoir le nombre exact de pièces sur la table. Par exemple, imaginons qu’il y ait cinq pièces de monnaies alignées sur la table, dans la configuration suivante (F pour Face, P pour Pile) :
PPFPP
Le joueur malveillant me cache les deux dernières pièces, si bien que je ne vois que :
PPF
et que je ne sais pas combien de pièces sont cachées.

J’affirme néanmoins pouvoir, en moins de dix secondes, écrire devant moi combien il y a de configurations possibles d’alternance de pile ou de face sur ces pièces (i.e. en moins de dix secondes et même en ne voyant que les trois premières pièces, ici, 32 configurations). Comment fais-je ?
(Laissez vos questions/réponses en commentaire, je donnerai peut-être un indice plus tard et la solution demain, après-demain ou dès que quelqu´un trouve).


Solution

Il y a deux choses qui peuvent mettre la puce à l’oreille dans ce que j’ai déjà dit :
– plus haut, j’ai dit qu’il s’agit d’écrire sur la table la solution, pas de calculer
– en commentaires, j’ai dit qu’on pouvait le faire meme avec 350 pièces. Or personne ne peut calculer 2^350 en dix secondes; cela signifie qu’il n’y a pas de calculs à faire. De fait, sans savoir combien il y a de pièces, on ne peut évidemment pas savoir le nombre de configurations.

Pour écrire le nombre de configurations, nous avons besoin d’un stylo. Nous allons considérer le rang de pièces, et poser le stylo juste à gauche de celui-ci.

Ca y est ! Le nombre de configurations est écrit sur la table ! Sans que vous sachiez le nombre de pièces !

En effet, une fois le cache retiré, vous aller voir devant vous quelque chose qui va ressembler à cela :

IOOOOO

où I est le stylo et O les pièces. Ce nombre correspond exactement au nombre de configurations qu’on recherche, si on l’écrit … en base 2 !
Le nombre de configurations est bien 10 (2) pour une pièce, 100 (4) pour deux pièces, etc …

Clarke aime beaucoup la base 2, puisque son personnage compte sur ses doigts jusque 1023. Mais je suis sûr que vous savez déjà comment on fait…

4 réflexions au sujet de « Jeu mathématique »

  1. Question : a-t-on le droit d’écrire plusieurs nombres, parmi lesquels figurera le bon mais aussi une tripotée de faux ? Y a-t-il une limite décente au nombre de pièces que la table peut supporter ? Si oui, l’énigme est déjà moins retorse, mais quelque chose me dit qu’il ne faut pas trop y compter 🙂

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