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Symétries III : symétrie miroir, vecteurs et brisure de symétrie

A la fin du dernier billet, nous avons vu que les symétries portent en fait le doux nom « d’opérateurs ». La raison est que les symétries « opèrent » sur les objets physiques. Donc avant de voir comment se combinent les symétries, examinons l’effet d’une symétrie simple sur les objets physiques.

toupie1.png
L’exemple le plus simple est la symétrie que j’appelerai « symétrie miroir ». L’illustration ci-dessus montre l’effet de cette symétrie sur des objets physiques (le miroir est au milieu). Vous noterez que j’ai représenté les objets physiques sous formes de vecteurs. En effet, le vecteur est l’objet le plus naturel pour représenter l’effet de symétries.

Considérons dans un premier temps le vecteur AB. Son image dans la symétrie miroir (qu’on notera s(AB)) est le vecteur A’B’ . Vous noterez que le vecteur A’B’ est superposable au vecteur AB.

Pour les autres vecteurs, ce n’est en général pas le cas. Considérons par exemple le vecteur CD . Ce vecteur est transformé en un vecteur C’D’. Le vecteur C’D’ possède la même direction (au sens mathématique, c’est-à-dire que les droites (CD) et (C’D’) sont parallèles), la même longueur que le vecteur CD mais n’a pas le même sens.

On a donc en fait les propriétés mathématiques suivantes :
s(AB)=A’B’=AB
s(CD)= C’D’ =- CD

Les vecteurs AB et CD forment ce qu’on appelle des vecteurs propres de la symétrie miroir. Les vecteurs propres d’une symétrie sont les vecteurs dont la direction (mais pas nécessairement le sens ou la longueur) est conservée par cette symétrie. La notion de vecteur propre est fondamentale en physique : la plupart des questions qu’on peut se poser en mécanique quantique se ramène à l’étude des vecteurs propres d’un opérateur. La raison est que tout vecteur peut se décomposer en sommes de vecteurs propres. Considérons par exemple le vecteur EF sur la figure ci-dessus. Le vecteur E’F’ n’a pas la même direction que le vecteur EF , mais il peut se décomposer en somme des deux vecteurs propres AB et CD (EF = CD+ AB). Le gros avantage est que l’image des vecteurs CD et AB est « facile » à calculer car ce sont des vecteurs propres. Ainsi, on a dans ce cas précis les propriétés suivantes :
E’F’ = s(EF)=s(CD)+s(AB)
E’F’ =s(EF)=- CD+ AB
La première propriété vient du fait qu’une symétrie est ce qu’on appelle un opérateur linéaire : l’image de la somme de deux vecteurs est la somme des images de ces deux vecteurs. La deuxième propriété illustre l’avantage d’utiliser la notion de vecteurs propres : on transforme un vecteur par symétrie en se préoccupant uniquement des transformations des vecteurs propres, qui sont toujours simples car elles consistent en une multiplication par un nombre positif ou négatif.

Moment cinétique et pseudo-vecteur

On peut faire ensuite des choses plus subtiles. J’ai représenté tout en bas une toupie. Les propriétés de rotation d’une toupie peuvent se ramener à l’étude d’un objet similaire à un vecteur, appelé « moment cinétique » (en pointillés). Cet objet a pour direction l’axe de rotation de la toupie, et a un sens défini par convention de la façon suivante : si l’objet tourne dans le sens « direct » – i.e. dans le sens contraire des aiguilles d’une montre, il pointe vers le haut, sinon il pointe vers le bas. On voit sur l’illustration que cet objet a des propriétés bizarres par la symétrie miroir : comme la symétrie inverse le sens de rotation de la toupie, le moment cinétique de la toupie est transformé en son opposé, bien qu’il soit parallèle au vecteur AB. Le moment cinétique est ce qu’on appelle un « pseudo-vecteur » : il a le goût d’un vecteur, la couleur d’un vecteur, mais n’est pas transformé comme un vecteur pour les opérations de symétrie[1]

Brisure de symétrie P

Nous avons maintenant tous les éléments en main pour comprendre la première observation expérimentale de brisure de symétrie en physique des particules.

La symétrie miroir porte le doux nom de parité en physique des particules. En 1957, l’équipe du professeur Wu étudie la désintégration radioactive du Cobalt 60 en Nickel 60, ce qui donne un électron et un neutrino.

Le noyau du Cobalt 60 possède ce qu’on appelle un « spin » en mécanique quantique. « To Spin » signifie « tourner » en Anglais : les propriétés du spin sont analogues à celles du moment cinétique de la toupie.

L’équipe de Wu a montré que si on prend un noyau de cobalt, il y (statistiquement) plus de chance que l’électron soit émis dans la direction opposée au spin que dans la direction de celui-ci. Pour reprendre notre image de la toupie, c’est comme si les électrons étaient émis de préférence vers le bas sur la figure ci-dessus.

Ceci montrait qu’il y a une violation de la symétrie miroir dans cette desintégration : en effet, dans le monde miroir, le spin -comme le moment cinétique- change de direction, mais pas les électrons (qui sont émis vers le bas des deux côtés du monde miroir) donc dans le monde miroir, il y a plus d’électrons émis dans la direction du spin du Cobalt que dans la direction opposée. Le monde miroir et le monde réel n’ont donc pas les mêmes propriétés physiques, ce qui en 1960 constituait une surprise de taille. Notons également que la violation de la parité permet de définir de manière « absolue » la droite et la gauche, ce qui est philosophiquement assez intéressant !

[1]La raison profonde est que le moment cinétique se calcule à l’aide du produit vectoriel du vecteur position et du vecteur vitesse, et est donc un objet composite « produit » des deux vecteurs et non pas somme.

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Tom Roud

Blogger scientifique zombie

5 Comments

  • hehe, je ne connaissais pas le dernier point. Astucieux !

    C’est amusant hein ? Trop fort les physiciens !

  • La question de la symétrie miroir en biologie est également pasionnante.
    Quand on regarde un bras droit et un bras gauche, il n’y a pas un micron de matière au même endroit, pas une seule cellule de bras gauche n’est superposable aux cellules de bras droit. or il est évident pour tout le monde que ces deux bras sont obtenus avec les mêmes gènes. Par conséquent, les mêmes gènes exactement peuvent produire des formes complètement différentes, suivant la condition aux limites initiale à laquelle ils doivent s’ajuster, et ceci est vrai pour de nombreux cas.

    c’est particulièrement vrai du syncitium de drosophile : on voit bien que la chiralité des pattes est due à la courbure du bord, et non à des gènes différents.

    ceci a des conséquences extrêmement profondes. les gènes de vertébrés hox 10 à 13, exprimés dans les queues de vertébrés font une queue, qui est un objet physiquement centré sur le dos, non chiral. Les mêmes gènes, vrillés par le mouvement de gastrulation sur le côté gauche font une patte gauche, vrillés sur le côté droit, font une patte droite. Il n’y a pas de gène de la symétrie de la queue, et un gène de la chiralité de la patte.

    bien à vous

    vf

  • « pseudo vecteur », ce terme me rappelle des cauchemards (je l’avais completement oublie, ceci dit 🙂 ). Jamais compris ce que ca voulait dire en prepa (les rot et cie). Comment on definit un pseudo vecteur ? Il est pseudo justement parce qu’il brise une symmetrie ?

  • @ david : oui, il est pseudo parce qu’il ne se transforme pas comme un vecteur par toutes les opérations de symétrie. Dans un contexte différent, la question de la mesure de la température dans les gaz relativistes était de la même façon de savoir si la température était un scalaire vrai (i.e. conservé par transformation de Lorentz) ou pseudo-scalaire (pas conservé par transformation de Lorentz).

    Et effectivement, le produit vectoriel de deux vecteurs est un pseudo vecteur, ainsi d’ailleurs que le champ magnétique.
    L’article wikipedia sur le sujet est pas mal :
    http://fr.wikipedia.org/wiki/Pseudovecteur

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